数学 : 微分方程式
微分方程式とは
未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式 (Wikipedia)
微分方程式の例
■例1
$ y' = x
■例2
$ \frac{dy}{dx} = x + y
■例3
$ \frac{d}{dx}f(x) - f(x) = 0
微分方程式には常微分方程式や偏微分方程式などがある
直接積分形
$ \frac{dy}{dx} = f(x)
微分方程式の解
一般解 : n階微分方程式の解のうち、n個の独立した任意定数を含んだ解
特殊解 : 一般解に含まれる任意定数に具体的な値を代入して得られる解
特異解 : 一般会にどのような値を代入しても得ることができない解
一般階の具体例(n=2)
2階微分方程式
$ y'' = - \omega^2 \ y
これの一般解は
$ y = C_1 \ sin(\omega x) + C_2 \ cos (\omega x)
C1とC2は任意定数
微分方程式の例題
■例題1A
$ y' = x の一般解を求める
■導出
両辺を積分して
$ y = \int x \ dx = \frac{1}{2}x^2 + C
微分方程式$ y' = x の一般解は $ y = \frac{1}{2}x^2 + C
■例題1B
$ y' = x, \ \ y(0) = 2 の特殊解を求める(一般解に具体的な値を入れて得られる解)
■導出
一般解は $ y = \frac{1}{2}x^2 + Cにx = 0 を代入して、
$ y(0) = C
ここで、y(0)=2より
$ C = 2
微分方程式$ y' = x の特殊解は $ y = \frac{1}{2}x^2 + 2
■例題2
$ \frac{dy}{dx} = 2(x + 1), \ y(0) = 1を満たす特殊解を求める
■例題3
$ x \cdot \frac{dy}{dx} = 2, \ y(1) = 1を満たす特殊解を求める
微分方程式の例
参考リンク
物理にも使える！微分方程式の解法まとめ
【微分方程式２】直接積分形
微分方程式の解(一般解, 特殊解, 特異解)
微分方程式の解 - 金沢工業大学
偏微分方程式を解く